Упр.21.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\sin^2 2x=1$$; б) $$\cos^2 4x=\frac{1}{2}$$; в) $$\sin^2 \frac{x}{2}=\frac{3}{4}$$; г) $$\cos^2 \frac{x}{4}=\frac{1}{4}$$.

Подробный ответ

Используем формулы понижения степени и решаем каждое уравнение отдельно.

а)

$$\sin^2 2x=1$$
$$\frac{1-\cos 4x}{2}=1$$
$$1-\cos 4x=2$$
$$\cos 4x=-1$$
$$4x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z$$

б)

$$\cos^2 4x=\frac12$$
$$\frac{1+\cos 8x}{2}=\frac12$$
$$1+\cos 8x=1$$
$$\cos 8x=0$$
$$8x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{8},\quad k\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{8},\quad k\in\mathbb Z$$

в)

$$\sin^2 \frac{x}{2}=\frac34$$
$$\frac{1-\cos x}{2}=\frac34$$
$$1-\cos x=\frac32$$
$$\cos x=-\frac12$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

г)

$$\cos^2 \frac{x}{4}=\frac14$$
$$\frac{1+\cos \frac{x}{2}}{2}=\frac14$$
$$1+\cos \frac{x}{2}=\frac12$$
$$\cos \frac{x}{2}=-\frac12$$
$$\frac{x}{2}=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
$$x=\pm \frac{4\pi}{3}+4\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\pm \frac{4\pi}{3}+4\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$