Упр.21.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Преобразуем левую и правую части, используя формулы

$$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}, \qquad \sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$2\sin^2\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2},$$

$$2\sin^2\frac{x}{2}-2\sin^2\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0,$$

$$2\sin^2\frac{x}{2}\left(1-\cos\frac{x}{2}\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad 1-\cos\frac{x}{2}=0.$$

1) $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n.$$

2) $$\cos\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=2\pi n \Rightarrow x=4\pi n,$$

но это входит в первое семейство решений.

Следовательно,

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу

$$\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sin x=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}(1+\cos x)=1-\cos x.$$

Получаем

$$\sin x+\cos x=1.$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Проверим область определения: $$1+\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pi+2\pi n.$$ Полученные решения этой области не нарушают.

Итак,

$$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$