Упр.21.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Преобразуем левую часть с помощью формулы $$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$:

$$1-\cos x=2\sin\frac{x}{2}$$

$$2\sin^2\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}$$

$$2\sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}=0$$

$$2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{2}=1$$

1) $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi k,\; x=2\pi k,$$

2) $$\sin\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; x=\pi+4\pi k,$$

где $$k\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу $$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$1+\cos x=2\cos\frac{x}{2}$$

$$2\cos^2\frac{x}{2}=2\cos\frac{x}{2}$$

$$2\cos^2\frac{x}{2}-2\cos\frac{x}{2}=0$$

$$2\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2}-1\right)=0$$

Следовательно,

$$\cos\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2}=1$$

1) $$\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; x=\pi+2\pi k,$$

2) $$\cos\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=2\pi k,\; x=4\pi k,$$

где $$k\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=2\pi k,\ \pi+4\pi k,\ k\in\mathbb Z$$; б) $$x=\pi+2\pi k,\ 4\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.