Упр.21.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin x * \cos x = \frac{1}{4}$$; б) $$\sin 4x * \cos 4x = \frac{1}{2}$$; в) $$\cos^2 x/3 — \sin^2 x/3 = \frac{1}{2}$$; г) $$\sin^2 x — \cos^2 x = \frac{1}{2}$$.

Используем формулы двойного аргумента:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x.$$

Ход решения

1. $$\sin x\cos x=\frac14$$

   Тогда

   $$2\sin x\cos x=\frac12,$$

   то есть

   $$\sin 2x=\frac12.$$

   Отсюда

   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

   значит

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin 4x\cdot \cos 4x=\frac12$$

   Тогда

   $$2\sin 4x\cos 4x=1,$$

   то есть

   $$\sin 8x=1.$$

   Следовательно,

   $$8x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

   откуда

   $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos^2\frac{x}{3}-\sin^2\frac{x}{3}=\frac12$$

   По формуле двойного аргумента получаем

   $$\cos\frac{2x}{3}=\frac12.$$

   Тогда

   $$\frac{2x}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

   значит

   $$x=\pm\frac{\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin^2 x-\cos^2 x=\frac12$$

   Умножим на $$-1$$:

   $$\cos^2 x-\sin^2 x=-\frac12.$$

   Тогда

   $$\cos 2x=-\frac12.$$

   Следовательно,

   $$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

   откуда

   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\pm\frac{\pi}{2}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$