Упр.21.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\sin 2x-2\cos x=0$$; б) $$\sin 2x-\sin x=0$$; в) $$2\sin x=\sin 2x$$; г) $$\sin 2x+\cos x=0$$.

а) $$\sin 2x-2\cos x=0$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$2\sin x\cos x-2\cos x=0$$

$$2\cos x(\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1$$

В обоих случаях получаем одно и то же множество решений:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$\sin 2x-\sin x=0$$

$$2\sin x\cos x-\sin x=0$$

$$\sin x(2\cos x-1)=0$$

Следовательно,

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0$$

$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Итак,

$$x=\pi n,\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

в) $$2\sin x=\sin 2x$$

$$2\sin x-2\sin x\cos x=0$$

$$2\sin x(1-\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1$$

В обоих случаях получаем

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

г) $$\sin 2x+\cos x=0$$

$$2\sin x\cos x+\cos x=0$$

$$\cos x(2\sin x+1)=0$$

Следовательно,

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12$$

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\pi n,\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$