Упр.21.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin^2 2t=\frac{1-\cos 4t}{2}$$;
б) $$2\sin^2\frac{t}{2}+\cos t=1$$;
в) $$2\sin^2 2t=1+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-4t\right)$$;
г) $$2\cos^2 t-\cos 2t=1$$.

а) Используем формулу $$\cos 4t=1-2\sin^2 2t$$:

$$\frac{1-\cos 4t}{2} = \frac{1-(1-2\sin^2 2t)}{2} = \frac{2\sin^2 2t}{2} = \sin^2 2t.$$

Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$2\sin^2 \frac{t}{2}+\cos t = 2\cdot \frac{1-\cos t}{2}+\cos t = 1-\cos t+\cos t = 1.$$

Тождество доказано.

в) Используем формулу $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x$$:

$$1+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-4t\right) = 1-\cos 4t = 2\sin^2 2t.$$

Тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть:

$$2\cos^2 t-\cos 2t = 2\cos^2 t-(\cos^2 t-\sin^2 t) = \cos^2 t+\sin^2 t = 1.$$

Тождество доказано.