Упр.21.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Используем формулу приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)=\cos 6t.$$

Тогда

$$\frac{1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)}{2}=\frac{1+\cos 6t}{2}=\cos^2 3t,$$

так как $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$ откуда $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$

Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$\frac{1-\cos t}{1+\cos t}=\frac{\left(\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}\right)-\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)}{\left(\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}\right)+\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)}$$

$$=\frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\cos^2\frac{t}{2}}=\tg^2\frac{t}{2}.$$

Тождество доказано.

в) Так как $$\cos(6t-3\pi)=\cos(6t-\pi),$$ а затем $$\cos(6t-\pi)=-\cos 6t,$$ то

$$\frac{1-\cos(6t-3\pi)}{2}=\frac{1+\cos 6t}{2}=\cos^2 3t.$$

Тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть:

$$\frac{1-\cos t}{\sin t}=\frac{\left(\cos^2\frac{t}{2}+\sin^2\frac{t}{2}\right)-\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)}{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}$$

$$=\frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}=\tg\frac{t}{2}.$$

Тождество доказано.