Упр.21.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\operatorname{ctg} t-\sin 2t=\operatorname{ctg} t\cdot\cos 2t$$; б) $$\sin 2t-\operatorname{tg} t=\cos 2t\cdot\operatorname{tg} t$$.

Проверим тождество в каждом пункте, используя формулы $$\sin 2t=2\sin t\cos t$$, $$\cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t$$, $$\tg t=\dfrac{\sin t}{\cos t}$$, $$\ctg t=\dfrac{\cos t}{\sin t}$$.

Ход решения

а)

$$\ctg t-\sin 2t=\ctg t-2\sin t\cos t$$
$$=\ctg t-2\sin^2 t\cdot \ctg t$$
$$=\ctg t\,(1-2\sin^2 t)$$
$$=\ctg t\,(\cos^2 t-\sin^2 t)$$
$$=\ctg t\cdot \cos 2t.$$

Тождество доказано.

б)

$$\sin 2t-\tg t=2\sin t\cos t-\tg t$$
$$=2\cos^2 t\cdot \tg t-\tg t$$
$$=\tg t\,(2\cos^2 t-1)$$
$$=\tg t\,(\cos^2 t-\sin^2 t)$$
$$=\tg t\cdot \cos 2t.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\ctg t-\sin 2t=\ctg t\cdot \cos 2t,\qquad \sin 2t-\tg t=\cos 2t\cdot \tg t.$$