Упр.21.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\cos^4 t-\sin^4 t=\cos 2t$$;

б) $$\cos^4 t+\sin^4 t=1-\frac{1}{2}\sin^2 2t$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$\cos^4 t-\sin^4 t=(\cos^2 t-\sin^2 t)(\cos^2 t+\sin^2 t).$$

Так как $$\cos^2 t+\sin^2 t=1,$$ а $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t,$$ то

$$\cos^4 t-\sin^4 t=\cos 2t\cdot 1=\cos 2t.$$

Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$\cos^4 t+\sin^4 t=(\cos^2 t+\sin^2 t)^2-2\sin^2 t\cos^2 t.$$

Так как $$\cos^2 t+\sin^2 t=1,$$ а $$\sin 2t=2\sin t\cos t,$$ то

$$2\sin^2 t\cos^2 t=\frac{1}{2}\sin^2 2t.$$

Следовательно,

$$\cos^4 t+\sin^4 t=1-\frac{1}{2}\sin^2 2t.$$

Тождество доказано.