Упр.21.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$(\sin t-\cos t)^2=1-\sin 2t$$;
   б) $$2\cos^2 t=1+\cos 2t$$;
   в) $$(\sin t+\cos t)^2=1+\sin 2t$$;
   г) $$2\sin^2 t=1-\cos 2t$$.

Преобразуем левую или правую часть каждого равенства, используя формулы:

$$\sin 2t = 2\sin t \cos t,$$

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t,$$

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1.$$

Ход решения

1. $$(\sin t-\cos t)^2=\sin^2 t-2\sin t\cos t+\cos^2 t$$

   $$=(\sin^2 t+\cos^2 t)-2\sin t\cos t=1-\sin 2t$$

2. $$1+\cos 2t=(\sin^2 t+\cos^2 t)+(\cos^2 t-\sin^2 t)=2\cos^2 t$$

3. $$(\sin t+\cos t)^2=\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t$$

   $$=(\sin^2 t+\cos^2 t)+2\sin t\cos t=1+\sin 2t$$

4. $$1-\cos 2t=(\sin^2 t+\cos^2 t)-(\cos^2 t-\sin^2 t)=2\sin^2 t$$

Ответ

Все тождества верны.