Упр.21.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) Дано: $$\sin 2x=-\frac{3}{5}$$, $$\frac{\pi}{2}
а) Так как $$\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{4},$$ то угол $$2x$$ лежит в третьей четверти, значит $$\cos 2x<0.$$
Найдём $$\cos 2x$$:
$$\cos 2x=-\sqrt{1-\sin^2 2x} =-\sqrt{1-\left(-\frac35\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{9}{25}} =-\sqrt{\frac{16}{25}} =-\frac45.$$
Теперь используем формулы половинного угла. Так как $$x$$ во второй четверти, то $$\cos x<0,$$ $$\sin x>0.$$
$$\cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}} =-\sqrt{\frac{1-\frac45}{2}} =-\sqrt{\frac{1}{10}} =-\frac{1}{\sqrt{10}}.$$
$$\sin x=\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =\sqrt{\frac{9}{10}} =\frac{3}{\sqrt{10}}.$$
$$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{3/\sqrt{10}}{-1/\sqrt{10}} =-3, \qquad \ctg x=\frac{1}{\tg x}=-\frac13.$$
б) Так как $$\pi<x<\frac{5\pi}{4},$$ то угол $$2x$$ лежит в первой четверти, значит $$\cos 2x>0.$$
Найдём $$\cos 2x$$ по формуле:
$$\cos 2x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 2x}} =\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac34\right)^2}} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}} =\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16}}} =\frac45.$$
Так как $$x$$ в третьей четверти, то $$\cos x<0,$$ $$\sin x<0.$$ Тогда
$$\cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}} =-\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}} =-\sqrt{\frac{9}{10}} =-\frac{3}{\sqrt{10}}.$$
$$\sin x=-\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}} =-\sqrt{\frac{1-\frac45}{2}} =-\sqrt{\frac{1}{10}} =-\frac{1}{\sqrt{10}}.$$
$$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{-1/\sqrt{10}}{-3/\sqrt{10}} =\frac13, \qquad \ctg x=\frac{1}{\tg x}=3.$$
Ответ: а) $$\cos x=-\frac{1}{\sqrt{10}},\ \sin x=\frac{3}{\sqrt{10}},\ \tg x=-3,\ \ctg x=-\frac13;$$ б) $$\cos x=-\frac{3}{\sqrt{10}},\ \sin x=-\frac{1}{\sqrt{10}},\ \tg x=\frac13,\ \ctg x=3.$$
