Упр.21.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Так как $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$\frac{t}{2}$$ лежит в первой четверти, значит все значения положительны.

Используем формулы половинного угла:

$$\cos \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac34}{2}}=\sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{\sqrt{14}}{4}$$
$$\sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac34}{2}}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$$
$$\tg \frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{\frac{\sqrt2}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}=\frac{1}{\sqrt7}=\frac{\sqrt7}{7}$$
$$\ctg \frac{t}{2}=\frac{1}{\tg \frac{t}{2}}=\sqrt7$$

б) Так как $$\pi<t<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$t$$ лежит в третьей четверти, а угол $$\frac{t}{2}$$ — во второй четверти. Поэтому $$\cos \frac{t}{2}<0,$$ $$\sin \frac{t}{2}>0.$$

Сначала найдём $$\sin t$$ и $$\cos t.$$ Из условия $$\ctg t=\frac34,$$ значит

$$\tg t=\frac{4}{3}$$
$$1+\tg^2 t=\frac{1}{\cos^2 t}$$
$$\cos t=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac43\right)^2}}=-\frac{3}{5}$$
$$\sin t=\ctg t\cdot \cos t=\frac34\cdot\left(-\frac35\right)=-\frac45$$

Теперь применим формулы половинного угла:

$$\cos \frac{t}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac35}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{5}}=-\frac{\sqrt5}{5}$$
$$\sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt5}{5}$$
$$\tg \frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{\frac{2\sqrt5}{5}}{-\frac{\sqrt5}{5}}=-2$$
$$\ctg \frac{t}{2}=\frac{1}{\tg \frac{t}{2}}=-\frac12$$

Ответ: а) $$\frac{\sqrt{14}}{4},\ \frac{\sqrt2}{4},\ \frac{\sqrt7}{7},\ \sqrt7$$; б) $$-\frac{\sqrt5}{5},\ \frac{2\sqrt5}{5},\ -2,\ -\frac12$$.