Упр.21.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$\cos x = 0{,}8$$, $$0 < x < \frac{\pi}{2}$$. Найдите: а) $$\sin 2x$$; б) $$\cos 2x$$; в) $$\operatorname{tg} 2x$$; г) $$\operatorname{ctg} 2x$$.

Так как $$\cos x=0{,}8=\frac45$$ и $$0<x<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$x$$ лежит в первой четверти, значит $$\sin x>0.$$

Найдём $$\sin x$$:

$$\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-0{,}8^2}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6=\frac35.$$

Тогда

$$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34.$$

Ход решения

а) $$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}.$$

б) $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=\left(\frac45\right)^2-\left(\frac35\right)^2=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}.$$

в) $$\tg 2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=\frac{2\cdot\frac34}{1-\left(\frac34\right)^2}=\frac{\frac32}{1-\frac{9}{16}}=\frac{\frac32}{\frac{7}{16}}=\frac{24}{7}.$$

г) $$\ctg 2x=\frac{1}{\tg 2x}=\frac{1}{24/7}=\frac{7}{24}.$$

Ответ

а) $$\frac{24}{25}$$; б) $$\frac{7}{25}$$; в) $$\frac{24}{7}$$; г) $$\frac{7}{24}$$.