Упр.20.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\frac{1-\tg 2a}{1+\tg 2a}=\tg(45-2a);$$
   б) $$\frac{\tg a+\tg b}{\tg(a+b)}+\frac{\tg a-\tg b}{\tg(a-b)}=2.$$

а) Используем формулу тангенса разности:

$$\tg(45^\circ-2a)=\frac{\tg 45^\circ-\tg 2a}{1+\tg 45^\circ\cdot \tg 2a}$$

Так как $$\tg 45^\circ=1,$$ получаем

$$\tg(45^\circ-2a)=\frac{1-\tg 2a}{1+\tg 2a}.$$

Следовательно,

$$\frac{1-\tg 2a}{1+\tg 2a}=\tg(45^\circ-2a).$$

б) Воспользуемся формулами тангенса суммы и разности:

$$\tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot \tg b}, \qquad \tg(a-b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot \tg b}.$$

Тогда

$$\frac{\tg a+\tg b}{\tg(a+b)}+\frac{\tg a-\tg b}{\tg(a-b)} = \frac{\tg a+\tg b}{\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot \tg b}} + \frac{\tg a-\tg b}{\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot \tg b}}$$

$$=1-\tg a\cdot \tg b+1+\tg a\cdot \tg b=2.$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\dfrac{1-\tg 2a}{1+\tg 2a}=\tg(45^\circ-2a)$$; б) $$\dfrac{\tg a+\tg b}{\tg(a+b)}+\dfrac{\tg a-\tg b}{\tg(a-b)}=2.$$