Упр.20.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$\operatorname{tg} a=\frac{2}{5}$$, $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+b\right)=-3$$. Вычислите: а) $$\operatorname{tg}(a+b)$$; б) $$\operatorname{tg}(a-b)$$.

Из условия $$\tg a=\frac{2}{5}, \qquad \tg\left(\frac{\pi}{2}+b\right)=-3.$$

Так как $$\tg\left(\frac{\pi}{2}+b\right)=-\ctg b,$$ то

$$-\ctg b=-3 \;\Rightarrow\; \ctg b=3 \;\Rightarrow\; \tg b=\frac{1}{3}.$$

Теперь воспользуемся формулами тангенса суммы и разности:

$$\tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot \tg b}=\frac{\frac{2}{5}+\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}}=\frac{\frac{11}{15}}{\frac{13}{15}}=\frac{11}{13}.$$

$$\tg(a-b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot \tg b}=\frac{\frac{2}{5}-\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{15}}{\frac{17}{15}}=\frac{1}{17}.$$

Ответ: а) $$\frac{11}{13}$$; б) $$\frac{1}{17}$$.