Упр.20.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$$, если $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}$$; б) $$\operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)$$, если $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{5}$$; в) $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$$, если $$\operatorname{ctg}\alpha=\frac{4}{3}$$; г) $$\operatorname{tg}\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$$, если $$\operatorname{ctg}\alpha=1{,}6$$.

Используем формулы:

$$\tg(\alpha \pm \beta)=\frac{\tg \alpha \pm \tg \beta}{1 \mp \tg \alpha \tg \beta}, \qquad \tg \frac{\pi}{4}=1, \qquad \tg \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}, \qquad \tg \frac{\pi}{2}+\alpha=-\ctg \alpha.$$

1. $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right), \quad \tg \alpha=\frac{2}{3}.$$

   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{\tg \frac{\pi}{4}-\tg \alpha}{1+\tg \frac{\pi}{4}\tg \alpha} =\frac{1-\frac{2}{3}}{1+1\cdot \frac{2}{3}} =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} =\frac{1}{5}.$$

2. $$\tg\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right), \quad \tg \alpha=\frac{4}{5}.$$

   $$\tg\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tg \alpha+\tg \frac{\pi}{3}}{1-\tg \alpha \tg \frac{\pi}{3}} =\frac{\frac{4}{5}+\sqrt{3}}{1-\frac{4}{5}\sqrt{3}} =\frac{4+5\sqrt{3}}{5-4\sqrt{3}}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$\frac{4+5\sqrt{3}}{5-4\sqrt{3}} =\frac{(4+5\sqrt{3})(5+4\sqrt{3})}{(5-4\sqrt{3})(5+4\sqrt{3})} =\frac{20+16\sqrt{3}+25\sqrt{3}+60}{25-48} =-\frac{80+41\sqrt{3}}{23}.$$

3. $$\tg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right), \quad \ctg \alpha=\frac{4}{3}.$$

   $$\tg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\ctg \alpha=-\frac{4}{3}.$$

4. $$\tg\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right), \quad \ctg \alpha=1{,}6.$$

   Найдём сначала $$\tg \alpha$$:

   $$\tg \alpha=\frac{1}{\ctg \alpha}=\frac{1}{1{,}6}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}.$$

   Тогда

   $$\tg\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg \alpha-\tg \frac{\pi}{4}}{1+\tg \alpha \tg \frac{\pi}{4}} =\frac{\frac{5}{8}-1}{1+\frac{5}{8}\cdot 1} =\frac{-\frac{3}{8}}{\frac{13}{8}} =-\frac{3}{13}.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{5}$$; б) $$-\frac{80+41\sqrt{3}}{23}$$; в) $$-\frac{4}{3}$$; г) $$-\frac{3}{13}$$.