Упр.20.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\frac{\operatorname{tg} 25^\circ+\operatorname{tg} 20^\circ}{1-\operatorname{tg} 25^\circ\cdot\operatorname{tg} 20^\circ}$$; б) $$\frac{1-\operatorname{tg} 70^\circ\cdot\operatorname{tg} 65^\circ}{\operatorname{tg} 70^\circ+\operatorname{tg} 65^\circ}$$; в) $$\frac{\operatorname{tg} 9^\circ+\operatorname{tg} 51^\circ}{1-\operatorname{tg} 9^\circ\cdot\operatorname{tg} 51^\circ}$$; г) $$\frac{1+\operatorname{tg} 54^\circ\cdot\operatorname{tg} 9^\circ}{\operatorname{tg} 54^\circ-\operatorname{tg} 9^\circ}$$.
Воспользуемся формулами:
$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta},\qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$
$$\frac{\tg 25^\circ+\tg 20^\circ}{1-\tg 25^\circ\cdot\tg 20^\circ}=\tg(25^\circ+20^\circ)=\tg 45^\circ=1.$$
$$\frac{1-\tg 70^\circ\cdot\tg 65^\circ}{\tg 70^\circ+\tg 65^\circ}=\frac{1}{\tg 70^\circ+\tg 65^\circ}\cdot\bigl(1-\tg 70^\circ\cdot\tg 65^\circ\bigr).$$
Заметим, что
$$\frac{1-\tg 70^\circ\cdot\tg 65^\circ}{\tg 70^\circ+\tg 65^\circ}=\frac{1}{\tg(70^\circ+65^\circ)}=\frac{1}{\tg 135^\circ}=\ctg 135^\circ=-1.$$
$$\frac{\tg 9^\circ+\tg 51^\circ}{1-\tg 9^\circ\cdot\tg 51^\circ}=\tg(9^\circ+51^\circ)=\tg 60^\circ=\sqrt{3}.$$
$$\frac{1+\tg 54^\circ\cdot\tg 9^\circ}{\tg 54^\circ-\tg 9^\circ}=\frac{1}{\tg 54^\circ-\tg 9^\circ}\cdot\bigl(1+\tg 54^\circ\cdot\tg 9^\circ\bigr).$$
Тогда
$$\frac{1+\tg 54^\circ\cdot\tg 9^\circ}{\tg 54^\circ-\tg 9^\circ}=\frac{1}{\tg(54^\circ-9^\circ)}=\frac{1}{\tg 45^\circ}=\ctg 45^\circ=1.$$
Ответ: а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$\sqrt{3}$$; г) $$1$$.
