Упр.20.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Точка $$K$$ — середина стороны $$CD$$ квадрата $$ABCD$$. Чему равен угол между диагональю $$AC$$ и отрезком $$BK$$?

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения диагонали $$AC$$ и отрезка $$BK$$ через $$E$$. Тогда требуется найти угол $$\angle AEB$$, то есть угол между прямыми $$AC$$ и $$BK$$.

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$BC \perp CD$$ и $$BC = CD$$. Поскольку $$K$$ — середина стороны $$CD$$, имеем

$$CK=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BKC$$:

$$\tg \angle BKC=\frac{BC}{CK}=\frac{BC}{\frac12 BC}=2,$$

значит,

$$\angle BKC=\arctg 2.$$

Диагональ квадрата $$AC$$ делит прямой угол при вершине $$C$$ пополам, поэтому

$$\angle ACD=45^\circ=\frac{\pi}{4}.$$

В треугольнике $$CEK$$ угол $$\angle CEK$$ дополняет до $${180^\circ}$$ сумму углов $$\angle ACD$$ и $$\angle BKC$$, поэтому

$$\angle CEK=180^\circ-\frac{\pi}{4}-\arctg 2.$$

Тогда искомый угол между прямыми $$AC$$ и $$BK$$ равен

$$\angle AEB=180^\circ-\angle CEK=\frac{\pi}{4}+\arctg 2.$$

Найдём его тангенс:

$$\tg \angle AEB=\tg\left(\frac{\pi}{4}+\arctg 2\right) =\frac{\tg \frac{\pi}{4}+\tg(\arctg 2)}{1-\tg \frac{\pi}{4}\cdot \tg(\arctg 2)} =\frac{1+2}{1-1\cdot 2}=-3.$$

Так как угол между прямыми берут острым, получаем

$$\angle AEB=\arctg 3.$$