Упр.20.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что $$\cos a=\frac{3}{5}$$, $$0

Так как $$\cos a=\frac35$$ и $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в первой четверти, значит

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac45.$$

Тогда

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac45}{\frac35}=\frac43.$$

Решение

Используем формулы:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\,\tg\beta},\qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta}.$$

а)

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tg a+\tg\frac{\pi}{3}}{1-\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{3}}=\frac{\frac43+\sqrt3}{1-\frac43\sqrt3}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4+3\sqrt3}{3-4\sqrt3}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{(4+3\sqrt3)(3+4\sqrt3)}{(3-4\sqrt3)(3+4\sqrt3)}=\frac{48+25\sqrt3}{9-48}=-\frac{48+25\sqrt3}{39}.$$

б)

$$\tg\left(a-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tg a-\tg\frac{\pi}{3}}{1+\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{3}}=\frac{\frac43-\sqrt3}{1+\frac43\sqrt3}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\tg\left(a-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4-3\sqrt3}{3+4\sqrt3}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$\tg\left(a-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{(4-3\sqrt3)(3-4\sqrt3)}{(3+4\sqrt3)(3-4\sqrt3)}=\frac{48-25\sqrt3}{9-48}=\frac{25\sqrt3-48}{39}.$$

Ответ

а) $$-\frac{48+25\sqrt3}{39}$$; б) $$\frac{25\sqrt3-48}{39}$$.