Упр.20.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Зная, что $$\mathrm{tg}\,a=3$$ и $$\mathrm{tg}(a+b)=1$$, найдите $$\mathrm{tg}\,b$$. б) Зная, что $$\mathrm{tg}\,a=\frac{1}{4}$$ и $$\mathrm{tg}(a-b)=2$$, найдите $$\mathrm{tg}\,b$$.

Используем формулы:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$

а)

$$\frac{3+\tg\beta}{1-3\tg\beta}=1.$$

Тогда

$$3+\tg\beta=1-3\tg\beta,$$

$$4\tg\beta=-2,$$

$$\tg\beta=-\frac12.$$

б)

$$\frac{\frac14-\tg\beta}{1+\frac14\tg\beta}=2.$$

Умножим обе части на $$1+\frac14\tg\beta$$:

$$\frac14-\tg\beta=2+\frac12\tg\beta,$$

$$-\tg\beta-\frac12\tg\beta=2-\frac14,$$

$$-\frac32\tg\beta=\frac74,$$

$$\tg\beta=-\frac76.$$

Ответ: а) $$-\frac12$$; б) $$-\frac76$$.