Упр.20.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите $$\operatorname{tg} a$$, если $$\operatorname{tg}\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=3$$. б) Найдите $$\operatorname{ctg} a$$, если $$\operatorname{tg}\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=0{,}2$$.

Используем формулы тангенса суммы и разности:

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta},\qquad \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$

а)

$$\tg\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=3.$$

Так как $$\tg\frac{\pi}{4}=1,$$ то

$$\frac{\tg\alpha-1}{1+\tg\alpha}=3.$$

Решим уравнение:

$$\tg\alpha-1=3(1+\tg\alpha)$$

$$\tg\alpha-1=3+3\tg\alpha$$

$$\tg\alpha-3\tg\alpha=3+1$$

$$-2\tg\alpha=4$$

$$\tg\alpha=-2.$$

б)

$$\tg\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=0{,}2.$$

Тогда

$$\frac{\tg\alpha+1}{1-\tg\alpha}=0{,}2.$$

Решим уравнение:

$$\tg\alpha+1=0{,}2(1-\tg\alpha)$$

$$\tg\alpha+1=0{,}2-0{,}2\tg\alpha$$

$$\tg\alpha+0{,}2\tg\alpha=0{,}2-1$$

$$1{,}2\tg\alpha=-0{,}8$$

$$\tg\alpha=-\frac{0{,}8}{1{,}2}=-\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$\ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha}=-\frac{3}{2}.$$

Ответ: а) $$-2$$; б) $$-\frac{3}{2}$$.