Упр.2.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) $$y=3-2x$$, $$x\in[-1;3]$$; б) $$y=-2x^2+2x$$, $$x\in[-3;2]$$; в) $$y=3-4x$$, $$x\in(-\infty;3]$$; г) $$y=x^2+4x+5$$, $$x\in(0;1]$$.

а) $$y=3-2x,\quad x\in[-1;3]$$

Это линейная функция с коэффициентом $$k=-2<0$$, значит, она убывает на всей области определения. Поэтому наибольшее значение достигается при $$x=-1$$, а наименьшее — при $$x=3$$:

$$y_{\max}=y(-1)=3-2\cdot(-1)=5$$

$$y_{\min}=y(3)=3-2\cdot3=-3$$

Ответ: $$y_{\max}=5,\; y_{\min}=-3.$$

б) $$y=-2x^2+2x,\quad x\in[-3;2]$$

Парабола направлена ветвями вниз, поэтому наибольшее значение достигается в вершине. Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-2)}=\frac12$$

Так как $$\frac12\in[-3;2]$$, вычислим значения функции в вершине и на концах отрезка:

$$y(-3)=-2\cdot(-3)^2+2\cdot(-3)=-18-6=-24$$

$$y\left(\frac12\right)=-2\cdot\left(\frac12\right)^2+2\cdot\frac12=-2\cdot\frac14+1=\frac12$$

$$y(2)=-2\cdot2^2+2\cdot2=-8+4=-4$$

Следовательно,

$$y_{\max}=\frac12,\qquad y_{\min}=-24.$$

Ответ: $$y_{\max}=\frac12,\; y_{\min}=-24.$$

в) $$y=3-4x,\quad x\in(-\infty;3]$$

Это линейная функция с коэффициентом $$k=-4<0$$, значит, она убывает. Наибольшего значения на промежутке $$(-\infty;3]$$ нет, так как при $$x\to-\infty$$ имеем $$y\to+\infty$$. Наименьшее значение достигается при $$x=3$$:

$$y_{\min}=y(3)=3-4\cdot3=-9$$

Ответ: наименьшее значение $$-9$$, наибольшего значения нет.

г) $$y=x^2+4x+5,\quad x\in(0;1]$$

Парабола направлена ветвями вверх. Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2$$

Точка минимума лежит левее промежутка $$(0;1]$$, значит, на этом промежутке функция возрастает. Тогда наименьшее значение стремится к значению при $$x\to0+$$, а наибольшее достигается при $$x=1$$:

$$\lim_{x\to0+}(x^2+4x+5)=5$$

$$y_{\max}=y(1)=1^2+4\cdot1+5=10$$

Ответ: $$y_{\min}\to5,\; y_{\max}=10.$$