Упр.2.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$y=\sqrt{-x^2+4x-5}$$;
б) $$y=\sqrt{\frac{x^2-4x+1}{5}}$$;
в) $$y=\sqrt{-2x^2+8x+9}$$;
г) $$y=\sqrt{\frac{5}{2x^2-4x+2}}$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{-x^2+4x-5}.$$
Для существования корня нужно, чтобы
$$-x^2+4x-5\ge 0.$$
Но
$$-x^2+4x-5=-(x^2-4x+5),$$
а
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4<0,$$
значит, $$x^2-4x+5>0$$ при всех $$x,$$ следовательно, $$-x^2+4x-5<0$$ при всех $$x.$$
Значит, функция не определена ни при каких значениях $$x.$$
Ответ: функция не существует.
б) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{\dfrac{x^2-4x+1}{5}}.$$
Для области определения нужно:
$$\dfrac{x^2-4x+1}{5}\ge 0.$$
Так как $$5>0,$$ получаем
$$x^2-4x+1\ge 0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 1=16-4=12,$$
$$x_{1,2}=\dfrac{4\pm \sqrt{12}}{2}=2\pm \sqrt{3}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x\le 2-\sqrt{3}\quad \text{или}\quad x\ge 2+\sqrt{3}.$$
Следовательно, $$y\ge 0,$$ а наибольшего значения функция не имеет.
Ответ: функция ограничена снизу.
в) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{-2x^2+8x+9}.$$
Для области определения нужно:
$$-2x^2+8x+9\ge 0.$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=\dfrac{-8}{2\cdot (-2)}=2.$$
Тогда
$$y_{\max}=\sqrt{-2\cdot 2^2+8\cdot 2+9}=\sqrt{17}.$$
Так как подкоренное выражение неотрицательно, то $$y\ge 0.$$
Значит, функция ограничена снизу и сверху:
$$0\le y\le \sqrt{17}.$$
Ответ: функция ограничена снизу и сверху.
г) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{\dfrac{5}{2x^2-4x+2}}.$$
Преобразуем знаменатель:
$$2x^2-4x+2=2(x^2-2x+1)=2(x-1)^2.$$
Тогда
$$y=\sqrt{\dfrac{5}{2(x-1)^2}}.$$
Для области определения нужно, чтобы знаменатель не обращался в нуль:
$$x\ne 1.$$
При $$x\ne 1$$ имеем $$2(x-1)^2>0,$$ значит
$$\dfrac{5}{2(x-1)^2}>0,$$
и потому $$y>0.$$
Сверху функция не ограничена, а снизу ограничена нулём.
Ответ: функция ограничена снизу.
