Упр.2.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Исследуйте функцию на ограниченность:

а) $$y=x^2-8x+1$$;

б) $$y=\frac{2x-4}{x}$$, $$x>0$$;

в) $$y=-2x^2-6x+15$$;

г) $$y=\frac{5-2x}{1-x}$$, $$x<1$$.

а) $$y=x^2-8x+1=(x-4)^2-15.$$

Так как $$\left(x-4\right)^2\ge 0,$$ то

$$y\ge -15.$$

Следовательно, функция ограничена снизу.

б) $$y=\frac{2x-4}{x}=2-\frac{4}{x}, \quad x>0.$$

При $$x>0$$ имеем $$\frac{4}{x}>0,$$ значит

$$y=2-\frac{4}{x}<2.$$

Следовательно, функция ограничена сверху.

в) $$y=-2x^2-6x+15=-2\left(x^2+3x\right)+15=-2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{39}{2}.$$

Так как $$\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\ge 0,$$ то

$$y\le \frac{39}{2}.$$

Следовательно, функция ограничена сверху.

г) $$y=\frac{5-2x}{1-x}=\frac{3+2(1-x)}{1-x}=\frac{3}{1-x}+2, \quad x<1.$$

При $$x<1$$ имеем $$1-x>0,$$ значит $$\frac{3}{1-x}>0.$$ Тогда

$$y=\frac{3}{1-x}+2>2.$$

Следовательно, функция ограничена снизу.

Ответ

а) ограничена снизу; б) ограничена сверху; в) ограничена сверху; г) ограничена снизу.