Упр.2.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x^3+1}.$$

Если $$x_2>x_1,$$ то при возведении в третью степень знак неравенства сохраняется:

$$x_2^3>x_1^3.$$

Тогда

$$x_2^3+1>x_1^3+1,$$

а так как функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает на своей области определения, то

$$\sqrt{x_2^3+1}>\sqrt{x_1^3+1}.$$

Следовательно, $$y(x_2)>y(x_1),$$ значит, функция возрастает.

б) Рассмотрим функцию $$y=5-x^5-\sqrt{2x^3}.$$

При $$x_2>x_1\ge 0$$ имеем:

$$x_2^5>x_1^5,$$

$$2x_2^3>2x_1^3,$$

значит,

$$\sqrt{2x_2^3}>\sqrt{2x_1^3}.$$

Тогда

$$5-x_2^5-\sqrt{2x_2^3}<5-x_1^5-\sqrt{2x_1^3},$$

то есть $$y(x_2)<y(x_1).$$ Следовательно, функция убывает.

в) Рассмотрим функцию $$y=2-\sqrt{x}.$$

Если $$x_2>x_1\ge 0,$$ то

$$\sqrt{x_2}>\sqrt{x_1},$$

следовательно,

$$2-\sqrt{x_2}<2-\sqrt{x_1}.$$

Значит, $$y(x_2)<y(x_1),$$ и функция убывает.

г) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x^7}+x-1.$$

При $$x_2>x_1\ge 0$$ имеем:

$$x_2^7>x_1^7,$$

откуда

$$\sqrt{x_2^7}>\sqrt{x_1^7}.$$

Кроме того,

$$x_2-1>x_1-1.$$

Складывая неравенства, получаем:

$$\sqrt{x_2^7}+x_2-1>\sqrt{x_1^7}+x_1-1.$$

Следовательно, функция возрастает.

Ответ

а) возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает.