Упр.2.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=x^2+2x+1,\ x\geq -1$$; б) $$y=\frac{1}{x+2},\ x<-2$$; в) $$y=-x^2+6x-12,\ x\geq 3$$; г) $$y=-\frac{2}{x+5},\ x>-5$$.

Исследуем каждую функцию на указанном промежутке.

1. $$y=x^2+2x+1=(x+1)^2,\quad x\ge -1.$$

   Пусть $$x_1<x_2$$ и $$x_1,x_2\ge -1.$$ Тогда

   $$0\le x_1+1<x_2+1,$$

   значит,

   $$(x_1+1)^2<(x_2+1)^2,$$

   то есть $$y(x_1)<y(x_2).$$ Следовательно, функция возрастает.

2. $$y=\frac{1}{x+2},\quad x<-2.$$

   Пусть $$x_1<x_2<-2.$$ Тогда

   $$x_1+2<x_2+2<0,$$

   а при отрицательных числах знак неравенства меняется:

   $$\frac{1}{x_1+2}>\frac{1}{x_2+2}.$$

   Значит, $$y(x_1)>y(x_2),$$ то есть функция убывает.

3. $$y=-x^2+6x-12=-(x-3)^2-3,\quad x\ge 3.$$

   Пусть $$x_1<x_2$$ и $$x_1,x_2\ge 3.$$ Тогда

   $$0\le x_1-3<x_2-3,$$

   следовательно,

   $$(x_1-3)^2<(x_2-3)^2,$$

   а значит,

   $$-(x_1-3)^2-3>-(x_2-3)^2-3.$$

   То есть $$y(x_1)>y(x_2),$$ функция убывает.

4. $$y=-\frac{2}{x+5},\quad x>-5.$$

   Пусть $$x_1<x_2$$ и $$x_1,x_2>-5.$$ Тогда

   $$0<x_1+5<x_2+5,$$

   поэтому

   $$\frac{1}{x_1+5}>\frac{1}{x_2+5}.$$

   Умножая на $$-2,$$ получаем

   $$-\frac{2}{x_1+5}<-\frac{2}{x_2+5}.$$

   Следовательно, функция возрастает.

Ответ: а) возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает.