Упр.2.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим функцию по частям:

$$y= \begin{cases} x^3, & x<0,\\ -x^2+2x+2, & 0\le x\le 2,\\ x, & 2<x\le 4. \end{cases}$$

Построение графика

1. При $$x<0$$ имеем график функции $$y=x^3$$ — кубическую параболу. Для построения удобно взять точки:

   $$x=-2,\,-1 \quad \Rightarrow \quad y=-8,\,-1.$$

   Точка $$x=0$$ не входит в этот промежуток, поэтому в начале координат ставим пустую точку.

2. При $$0\le x\le 2$$ имеем параболу $$y=-x^2+2x+2$$. Её вершина:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,\qquad y_0=-1^2+2\cdot1+2=3.$$

   На концах отрезка:

   $$y(0)=2,\qquad y(2)=2.$$

3. При $$2<x\le 4$$ имеем прямую $$y=x$$. Для построения достаточно точек:

   $$(2,2),\ (4,4).$$

Свойства функции

Область определения:

$$D(y)=(-\infty;4].$$

Область значений:

$$E(y)=(-\infty;0)\cup[2;4].$$

Функция возрастает на промежутках:

$$(-\infty;0)\cup[0;1]\cup[2;4].$$

Убывает на промежутке:

$$[1;2].$$

Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.

Наибольшее значение:

$$y_{\max}=4,\quad \text{достигается при } x=4.$$

Наименьшего значения не существует.

Функция непрерывна на промежутках:

$$(-\infty;0)\cup(0;4].$$

В точке $$x=0$$ функция имеет разрыв.

Ответ

График функции состоит из трёх частей: $$y=x^3$$ при $$x<0$$, $$y=-x^2+2x+2$$ при $$0\le x\le 2$$ и $$y=x$$ при $$2<x\le 4$$.
$$D(y)=(-\infty;4],\quad E(y)=(-\infty;0)\cup[2;4].$$