Упр.19.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin 7x\cdot\cos 4x-\cos 7x\cdot\sin 4x=\sin 3x$$; б) $$\cos 2x\cdot\cos 12x+\sin 2x\cdot\sin 12x=\cos 10x$$.

Воспользуемся формулами суммы и разности аргументов:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

Тогда

$$\sin 7x\cdot \cos 4x-\cos 7x\cdot \sin 4x=\sin(7x-4x)=\sin 3x,$$

что и требовалось доказать.

Аналогично

$$\cos 2x\cdot \cos 12x+\sin 2x\cdot \sin 12x=\cos(2x-12x)=\cos(-10x)=\cos 10x,$$

что и требовалось доказать.