Упр.19.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin(30-\alpha)-\cos(60-\alpha)=-\sqrt{3}\sin\alpha$$;

б) $$\sin(30-\alpha)+\sin(30+\alpha)=\cos\alpha$$.

а) Используем формулы синуса и косинуса разности:

$$\sin(30^\circ-a)-\cos(60^\circ-a)=\sin30^\circ\cos a-\cos30^\circ\sin a-\cos60^\circ\cos a-\sin60^\circ\sin a$$

$$=\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a-\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a =-\sqrt3\sin a$$

Тождество доказано.

б) Используем формулы синуса суммы и разности:

$$\sin(30^\circ-a)+\sin(30^\circ+a)=\sin30^\circ\cos a-\cos30^\circ\sin a+\sin30^\circ\cos a+\cos30^\circ\sin a$$

$$=\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a+\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a=\cos a$$

Тождество доказано.