Упр.19.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\sin(a+b)+\sin(-a)\cos(-b)=\sin b\cos a$$;
   б) $$\cos(a+b)+\sin(-a)\sin(-b)=\cos a\cos b$$.

а) Используем формулы приведения и сложения:

$$\sin(-a)=-\sin a,\qquad \cos(-b)=\cos b,$$

тогда

$$\sin(a+b)+\sin(-a)\cos(-b) =\sin(a+b)-\sin a\cos b.$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$$

Подставим:

$$\sin a\cos b+\cos a\sin b-\sin a\cos b=\cos a\sin b=\sin b\cos a.$$

Тождество доказано.

б) Аналогично,

$$\sin(-a)=-\sin a,\qquad \sin(-b)=-\sin b,$$

поэтому

$$\cos(a+b)+\sin(-a)\sin(-b) =\cos(a+b)+\sin a\sin b.$$

По формуле косинуса суммы:

$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$$

Тогда

$$\cos a\cos b-\sin a\sin b+\sin a\sin b=\cos a\cos b.$$

Тождество доказано.