Упр.19.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Зная, что $$\sin a=\frac{4}{5}$$, $$\cos b=-\frac{15}{17}$$, $$\frac{\pi}{2}

Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$ и $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi,$$ то углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ лежат во второй четверти. Значит, $$\cos\alpha<0$$, $$\sin\beta>0$$.

Найдём недостающие значения:

$$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac35,$$

$$\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\left(-\frac{15}{17}\right)^2}=\sqrt{\frac{64}{289}}=\frac{8}{17}.$$

Ход решения

а) Используем формулу синуса разности:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.$$

Подставим значения:

$$\sin(\alpha-\beta)=\frac45\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)-\left(-\frac35\right)\cdot\frac{8}{17}=-\frac{60}{85}+\frac{24}{85}=-\frac{36}{85}.$$

б) Используем формулу косинуса разности:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

Подставим значения:

$$\cos(\alpha-\beta)=\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)+\frac45\cdot\frac{8}{17}=\frac{45}{85}+\frac{32}{85}=\frac{77}{85}.$$

Ответ

а) $$-\frac{36}{85}$$; б) $$\frac{77}{85}$$.