Упр.19.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$$; б) $$\sin x+\cos x=1$$; в) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=1$$; г) $$\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$$.
а) $$\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x=1$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$$
$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
б) $$\sin x+\cos x=1$$
$$\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
в) $$\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x=1$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1$$
$$x+\frac{\pi}{6}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
г) $$\sqrt3\cos x-\sin x=1$$
$$\frac{\sqrt3}{2}\cos x-\frac12\sin x=\frac12$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12$$
$$x+\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=2\pi n,\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
