Упр.19.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$$; б) $$\sin x-\cos x=1$$; в) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x=1$$; г) $$\sqrt{3}\cos x+\sin x=1$$.

а) $$\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x=1$$

Представим левую часть в виде синуса разности:

$$\cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\cos x=1$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1$$

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$\sin x-\cos x=1$$

Умножим обе части на $$\frac{\sqrt2}{2}$$:

$$\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$

$$\cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

в) $$\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac12\sin x=1$$

Запишем левую часть как косинус разности:

$$\cos\frac{\pi}{6}\cos x+\sin\frac{\pi}{6}\sin x=1$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$$

$$x-\frac{\pi}{6}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

г) $$\sqrt3\cos x+\sin x=1$$

Умножим обе части на $$\frac12$$:

$$\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac12\sin x=\frac12$$

$$\cos\frac{\pi}{6}\cos x+\sin\frac{\pi}{6}\sin x=\frac12$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12$$

$$x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.