Упр.19.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
а) $$\sin 0{,}2x \cdot \cos 0{,}8x+\cos 0{,}2x \cdot \sin 0{,}8x=\cos 3x \cdot \cos 2x+\sin 3x \cdot \sin 2x,$$ $$x\in[0;3\pi];$$
б) $$\cos 0{,}7x \cdot \cos 1{,}3x-\sin 0{,}7x \cdot \sin 1{,}3x=\sin 7x \cdot \cos 9x-\sin 9x \cdot \cos 7x,$$ $$x\in[-\pi;\pi].$$

Используем формулы:

$$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha+\beta),$$

$$\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha+\beta),$$

$$\sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin(A-B).$$

а)

$$\sin 0{,}2x \cdot \cos 0{,}8x + \cos 0{,}2x \cdot \sin 0{,}8x = \cos 3x \cdot \cos 2x + \sin 3x \cdot \sin 2x$$

Преобразуем левую и правую части:

$$\sin(0{,}2x+0{,}8x)=\cos(3x-2x)$$

$$\sin x=\cos x$$

$$\tg x=1$$

Общее решение:

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

На промежутке $$[0;3\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}.$$

б)

$$\cos 0{,}7x \cdot \cos 1{,}3x-\sin 0{,}7x \cdot \sin 1{,}3x=\sin 7x \cdot \cos 9x-\sin 9x \cdot \cos 7x$$

Преобразуем:

$$\cos(0{,}7x+1{,}3x)=\sin(7x-9x)$$

$$\cos 2x=\sin(-2x)=-\sin 2x$$

$$\tg 2x=-1$$

Общее решение:

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

На промежутке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:

$$x=-\frac{5\pi}{8},\ -\frac{\pi}{8},\ \frac{3\pi}{8},\ \frac{7\pi}{8}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}$$; б) $$-\frac{5\pi}{8},\ -\frac{\pi}{8},\ \frac{3\pi}{8},\ \frac{7\pi}{8}$$.