Упр.19.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: а) $$\sin(a+b)-\sin a\cdot\cos b$$; б) $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right)-\frac{1}{2}\sin a$$; в) $$\sin a\cdot\sin b+\cos(a+b)$$; г) $$\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a$$.

а) $$\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta$$

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Тогда

$$\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\cos\alpha\sin\beta.$$

Ответ: $$\cos\alpha\sin\beta$$

б) $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac12\sin\alpha$$

По формуле синуса суммы:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha+\cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha$$

Тогда

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac12\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha-\frac12\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha$$

в) $$\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)$$

Раскроем косинус суммы:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Тогда

$$\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)=\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta.$$

Ответ: $$\cos\alpha\cos\beta$$

г) $$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha$$

Используем формулу косинуса суммы:

$$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$ получаем

$$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha$$