Упр.19.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\cos 6x\cdot\cos 5x+\sin 6x\cdot\sin 5x=-1$$; б) $$\sin 3x\cdot\cos 5x-\sin 5x\cdot\cos 3x=0{,}5$$.

Используем формулы:

$$\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha-\beta),$$

$$\sin \alpha \cos \beta — \sin \beta \cos \alpha = \sin(\alpha-\beta).$$

а)

$$\cos 6x \cdot \cos 5x + \sin 6x \cdot \sin 5x = -1$$

Тогда

$$\cos(6x-5x)=-1,$$

$$\cos x=-1.$$

Отсюда

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б)

$$\sin 3x \cdot \cos 5x — \sin 5x \cdot \cos 3x = 0{,}5$$

Получаем

$$\sin(3x-5x)=0{,}5,$$

$$\sin(-2x)=0{,}5,$$

$$-\sin 2x=0{,}5,$$

$$\sin 2x=-\frac12.$$

Тогда

$$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

значит

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$; б) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb Z.$$