Упр.19.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin 6x \cdot \cos x + \cos 6x \cdot \sin x = \frac{1}{2}$$; б) $$\cos 5x \cdot \cos 7x — \sin 5x \cdot \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

а) Используем формулу суммы синусов:

$$\sin 6x \cdot \cos x + \cos 6x \cdot \sin x=\sin(6x+x)=\sin 7x.$$

Тогда получаем уравнение

$$\sin 7x=\frac12.$$

Общее решение:

$$7x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{42}+\frac{\pi n}{7},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу косинуса суммы:

$$\cos 5x \cdot \cos 7x-\sin 5x \cdot \sin 7x=\cos(5x+7x)=\cos 12x.$$

Тогда

$$\cos 12x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Общее решение:

$$12x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{5\pi}{72}+\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{42}+\frac{\pi n}{7},\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$x=\pm \frac{5\pi}{72}+\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb Z.$$