Упр.19.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x=1$$;
   б) $$\cos 3x\cos 5x=\sin 3x\sin 5x$$.

а) Используем формулу синуса суммы:

$$\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = \sin(2x+x)=\sin 3x.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$\sin 3x=1.$$

Отсюда

$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

б) Перенесём всё в одну сторону и применим формулу косинуса суммы:

$$\cos 3x\cos 5x-\sin 3x\sin 5x=0,$$

$$\cos(3x+5x)=0,$$

$$\cos 8x=0.$$

Тогда

$$8x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{8},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

б) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{8},\quad k\in \mathbb{Z}.$$