Упр.19.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}-t\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{3}+t\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-t\right)$$; б) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-t\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\cos\left(\frac{5\pi}{12}+t\right)$$.

Подробный ответ

а) Используем формулы приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-t\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}+t\right), \qquad \sin\left(\frac{2\pi}{3}+t\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}+t\right).$$

Тогда

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}-t\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{3}+t\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-t\right)$$

$$=\sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}+t\right)$$

$$=\sin^2\left(\frac{\pi}{6}+t\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+t\right)=1.$$

б) Преобразуем косинусы:

$$\cos\left(\frac{\pi}{12}-t\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{12}+t\right), \qquad \cos\left(\frac{5\pi}{12}+t\right)=\sin\left(\frac{\pi}{12}-t\right).$$

Тогда

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}+t\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-t\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\cos\left(\frac{5\pi}{12}+t\right)$$

$$=\cos\left(\frac{\pi}{4}+t\right)\sin\left(\frac{5\pi}{12}+t\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-t\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}-t\right)$$

$$=\sin\left(\frac{5\pi}{12}+t-\frac{\pi}{4}-t\right) =\sin\left(\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{4}\right) =\sin\frac{\pi}{6} =\frac12.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$\frac12$$.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

4.7 / 5

Другие учебники