Упр.19.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\frac{\cos 105^\circ \cdot \cos 5^\circ+\sin 105^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\cos 95^\circ \cdot \cos 5^\circ+\sin 95^\circ \cdot \sin 185^\circ}$$
2. б) $$\frac{\sin 75^\circ \cdot \cos 5^\circ-\cos 75^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cdot \cos 5^\circ-\sin 15^\circ \cdot \sin 365^\circ}$$

а)

$$\frac{\cos 105^\circ \cdot \cos 5^\circ+\sin 105^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\cos 95^\circ \cdot \cos 5^\circ+\sin 95^\circ \cdot \sin 185^\circ} = \frac{\cos 105^\circ \cdot \cos 5^\circ+\sin 105^\circ \cdot \sin 5^\circ}{\cos 95^\circ \cdot \cos 5^\circ-\cos 95^\circ \cdot \cos 5^\circ}$$

Используем формулы приведения:
$$\cos 85^\circ=\sin 5^\circ,\qquad \sin 185^\circ=-\sin 5^\circ,\qquad \cos 95^\circ=-\sin 5^\circ.$$
Тогда
$$\frac{\cos 105^\circ \cdot \cos 5^\circ+\sin 105^\circ \cdot \sin 5^\circ}{\sin 95^\circ \cdot \cos 5^\circ+\cos 95^\circ \cdot \sin 185^\circ} = \frac{\cos(105^\circ-5^\circ)}{\sin(95^\circ+5^\circ)} = \frac{\cos 100^\circ}{\sin 100^\circ}.$$

Так как $$\cos 100^\circ=-\sin 10^\circ$$, а $$\sin 100^\circ=\sin 80^\circ=\cos 10^\circ,$$ получаем
$$\frac{\cos 100^\circ}{\sin 100^\circ}=\frac{-\sin 10^\circ}{\cos 10^\circ}=-\tg 10^\circ=\ctg 100^\circ.$$

Ответ: $$\ctg 100^\circ$$.

б)

$$\frac{\sin 75^\circ \cdot \cos 5^\circ-\cos 75^\circ \cdot \cos 85^\circ}{\cos 375^\circ \cdot \cos 5^\circ-\sin 15^\circ \cdot \sin 365^\circ} = \frac{\sin 75^\circ \cdot \cos 5^\circ-\cos 75^\circ \cdot \sin 5^\circ}{\cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ-\sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ}$$

Здесь использованы равенства
$$\cos 85^\circ=\sin 5^\circ,\qquad \cos 375^\circ=\cos 15^\circ,\qquad \sin 365^\circ=\sin 5^\circ.$$
По формулам синуса разности и косинуса суммы:
$$\sin 75^\circ \cdot \cos 5^\circ-\cos 75^\circ \cdot \sin 5^\circ=\sin(75^\circ-5^\circ)=\sin 70^\circ,$$
$$\cos 15^\circ \cdot \cos 5^\circ-\sin 15^\circ \cdot \sin 5^\circ=\cos(15^\circ+5^\circ)=\cos 20^\circ.$$
Тогда
$$\frac{\sin 70^\circ}{\cos 20^\circ}=\frac{\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ}=1.$$

Ответ: $$1$$.