Упр.18.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$3\operatorname{tg}^2 x+2\operatorname{tg}x-1=0$$; б) $$\operatorname{ctg}^2 2x-6\operatorname{ctg}2x+5=0$$; в) $$2\operatorname{tg}^2 x+3\operatorname{tg}x-2=0$$; г) $$7\operatorname{ctg}^2\frac{x}{2}+2\operatorname{ctg}\frac{x}{2}=5$$.
Положим в каждом уравнении новую переменную и решим квадратные уравнения.
а)
$$3\tg^2 x+2\tg x-1=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$3y^2+2y-1=0.$$
Найдём корни:
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{6}.$$
Отсюда
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac13.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=\frac13 \Rightarrow x=\arctg\frac13+\pi n,$$
где $$n\in\mathbb Z.$$
б)
$$\ctg^2 2x-6\ctg 2x+5=0$$
Пусть $$y=\ctg 2x$$. Тогда
$$y^2-6y+5=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$
Отсюда
$$y_1=1,\qquad y_2=5.$$
Тогда
$$\ctg 2x=1 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},$$
$$\ctg 2x=5 \Rightarrow 2x=\arcctg 5+\pi n \Rightarrow x=\frac12\arcctg 5+\frac{\pi n}{2},$$
где $$n\in\mathbb Z.$$
в)
$$2\tg^2 x+3\tg x-2=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$2y^2+3y-2=0.$$
Найдём корни:
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}.$$
Отсюда
$$y_1=\frac12,\qquad y_2=-2.$$
Тогда
$$\tg x=\frac12 \Rightarrow x=\arctg\frac12+\pi n,$$
$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n,$$
где $$n\in\mathbb Z.$$
г)
$$7\ctg^2 \frac{x}{2}+2\ctg \frac{x}{2}=5$$
Пусть $$y=\ctg \frac{x}{2}$$. Тогда
$$7y^2+2y-5=0.$$
Найдём корни:
$$D=2^2-4\cdot 7\cdot(-5)=144,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{14}.$$
Отсюда
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac57.$$
Тогда
$$\ctg \frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{3\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$
$$\ctg \frac{x}{2}=\frac57 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arcctg\frac57+\pi n \Rightarrow x=2\arcctg\frac57+2\pi n,$$
где $$n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ \frac12\arcctg 5+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\arctg\frac12+\pi n,\ -\arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ 2\arcctg\frac57+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
