Упр.18.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Сделаем замену $$\sin x=t.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$3t^2-5t-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6},$$

откуда

$$t_1=2,\qquad t_2=-\frac13.$$

Значение $$t_1=2$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1].$$ Поэтому

$$\sin x=-\frac13.$$

Тогда

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Пусть $$\sin 2x=t.$$ Тогда

$$3t^2+10t+3=0.$$

Найдём корни:

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$

$$t_{1,2}=\frac{-10\pm 8}{6},$$

откуда

$$t_1=-\frac13,\qquad t_2=-3.$$

Значение $$t_2=-3$$ не подходит, так как $$\sin 2x\in[-1;1].$$ Поэтому

$$\sin 2x=-\frac13.$$

Следовательно,

$$2x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и значит

$$x=(-1)^{n+1}\frac12\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

в) Пусть $$\sin x=t.$$ Тогда

$$4t^2+11t-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=11^2-4\cdot 4\cdot(-3)=169,$$

$$t_{1,2}=\frac{-11\pm 13}{8},$$

откуда

$$t_1=\frac14,\qquad t_2=-3.$$

Значение $$t_2=-3$$ не подходит, поэтому

$$\sin x=\frac14.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Пусть $$\sin\frac x2=t.$$ Тогда

$$2t^2-3t+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1,$$

$$t_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4},$$

откуда

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=1.$$

1) Если $$\sin\frac x2=\frac12,$$ то

$$\frac x2=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\sin\frac x2=1,$$ то

$$\frac x2=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=(-1)^{n+1}\frac12\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$