Упр.18.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\cos(\pi+t)=1$$;
б) $$\sin(\pi+t)+\sin(2\pi-t)-\cos\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)+1{,}5=0$$;
в) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\sin(\pi+t)=\sqrt{2}$$;
г) $$\sin(\pi+t)+\cos\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\sqrt{3}$$.

а) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\cos(\pi+t)=1$$

$$\cos t+\cos t=1$$

$$2\cos t=1$$

$$\cos t=\frac12$$

$$t=\pm \arccos\frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin(\pi+t)+\sin(2\pi-t)-\cos\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)+1{,}5=0$$

$$-\sin t-\sin t-\sin t=-1{,}5$$

$$-3\sin t=-\frac32$$

$$\sin t=\frac12$$

$$t=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\sin(\pi+t)=\sqrt2$$

$$\sin t+\sin t=\sqrt2$$

$$2\sin t=\sqrt2$$

$$\sin t=\frac{\sqrt2}{2}$$

$$t=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$t=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin(\pi+t)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sqrt3$$

$$-\sin t-\sin t=\sqrt3$$

$$-2\sin t=\sqrt3$$

$$\sin t=-\frac{\sqrt3}{2}$$

$$t=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{\sqrt3}{2}+\pi n=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$t=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$