Упр.18.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin^2 x+\cos^2 2x+\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)+2\cos x\cdot\operatorname{tg}x=1$$

б) $$2\cos^2 x-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

а) Преобразуем выражение, используя тождества $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)=\sin 2x$$ и $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$:

$$\sin^2 x+\cos^2 2x+\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)+2\cos x\cdot \tg x=1$$

$$\sin^2 x+\cos^2 2x+\sin^2 2x+2\sin x=1$$

Так как $$\cos^2 2x+\sin^2 2x=1,$$ получаем:

$$\sin^2 x+1+2\sin x=1$$

$$\sin^2 x+2\sin x=0$$

$$\sin x(\sin x+2)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-2$$

Значение $$\sin x=-2$$ невозможно, поэтому

$$\sin x=0$$

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

б) Используем формулы:

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x,\qquad \tg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\ctg x$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$2\cos^2 x-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\tg x\cdot \tg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

$$2\cos^2 x+\cos x-\tg x\cdot \ctg x=0$$

$$2\cos^2 x+\cos x-1=0$$

Сделаем замену $$t=\cos x$$. Тогда:

$$2t^2+t-1=0$$

$$D=1-4\cdot 2\cdot(-1)=9$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}$$

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-1$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-1$$

Отсюда:

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$

б) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$