Упр.18.44 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$|\cos x|=2\cos x-\sqrt{3}\sin x$$; б) $$\sin x=\sqrt{3}\cos x+2|\sin x|$$.

Рассмотрим оба уравнения по отдельности.

а)

$$|\cos x|=2\cos x-\sqrt{3}\sin x$$

Если $$\cos x\ge 0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и получаем

$$\cos x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x,$$

$$\cos x-\sqrt{3}\sin x=0.$$

Так как $$\cos x\ne 0,$$ делим на $$\cos x$$:

$$1-\sqrt{3}\tg x=0,$$

$$\tg x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$\cos x\ge 0$$ подходят значения

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и тогда

$$-\cos x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x,$$

$$3\cos x-\sqrt{3}\sin x=0.$$

Делим на $$\cos x$$:

$$3-\sqrt{3}\tg x=0,$$

$$\tg x=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$\cos x<0$$ получаем

$$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б)

$$\sin x=\sqrt{3}\cos x+2|\sin x|$$

Если $$\sin x\ge 0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и получаем

$$\sin x=\sqrt{3}\cos x+2\sin x,$$

$$-\sin x=\sqrt{3}\cos x,$$

$$\tg x=-\sqrt{3}.$$

Отсюда

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$\sin x\ge 0$$ получаем

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и тогда

$$\sin x=\sqrt{3}\cos x-2\sin x,$$

$$3\sin x=\sqrt{3}\cos x,$$

$$\tg x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$\sin x<0$$ получаем

$$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ \frac{7\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$