Упр.18.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3\mathrm{tg}^2 x/2-2\mathrm{ctg}(3\pi/2+x/2)-1=0$$;
б) $$3\mathrm{tg}^2 4x-2\mathrm{ctg}(\pi/2-4x)=1$$;
в) $$\mathrm{tg}(\pi+x)+2\mathrm{tg}(\pi/2+x)+1=0$$;
г) $$2\mathrm{ctg}\,x-3\mathrm{ctg}(\pi/2-x)+5=0$$.

а) $$3\tg^2\frac{x}{2}-2\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)-1=0$$

Так как $$\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=\ctg\left(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=-\tg\frac{x}{2},$$ получаем

$$3\tg^2\frac{x}{2}+2\tg\frac{x}{2}-1=0.$$

Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$3y^2+2y-1=0.$$

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{6},\qquad y_1=-1,\quad y_2=\frac13.$$

1) $$\tg\frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

2) $$\tg\frac{x}{2}=\frac13 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctg\frac13+\pi n \Rightarrow x=2\arctg\frac13+2\pi n.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=2\arctg\frac13+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$3\tg^2 4x-2\ctg\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=1$$

Так как $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=\tg 4x,$$ имеем

$$3\tg^2 4x-2\tg 4x-1=0.$$

Пусть $$y=\tg 4x.$$ Тогда

$$3y^2-2y-1=0.$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6},\qquad y_1=-\frac13,\quad y_2=1.$$

1) $$\tg 4x=-\frac13 \Rightarrow 4x=-\arctg\frac13+\pi n \Rightarrow x=-\frac14\arctg\frac13+\frac{\pi n}{4}.$$

2) $$\tg 4x=1 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}.$$

Ответ: $$x=-\frac14\arctg\frac13+\frac{\pi n}{4},\; x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$\tg(\pi+x)+2\tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1=0$$

Используем формулы:

$$\tg(\pi+x)=\tg x,\qquad \tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\ctg x.$$

Тогда

$$\tg x-2\ctg x+1=0.$$

Умножим на $$\tg x$$:

$$\tg^2 x+\tg x-2=0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2+y-2=0.$$

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2},\qquad y_1=-2,\quad y_2=1.$$

1) $$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n.$$

2) $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Ответ: $$x=-\arctg 2+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$2\ctg x-3\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+5=0$$

Так как $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tg x,$$ получаем

$$2\ctg x-3\tg x+5=0.$$

Умножим на $$\tg x$$:

$$2-3\tg^2 x+5\tg x=0,$$

или

$$3\tg^2 x-5\tg x-2=0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$3y^2-5y-2=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6},\qquad y_1=-\frac13,\quad y_2=2.$$

1) $$\tg x=-\frac13 \Rightarrow x=-\arctg\frac13+\pi n.$$

2) $$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n.$$

Ответ: $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\; x=\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$