Упр.18.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$2\sin^2(\pi+x)-5\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+2=0$$;
б) $$2\cos^2 x+5\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-4=0$$;
в) $$2\cos^2 x+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-1=0$$;
г) $$5-5\sin 3(\pi-x)=\cos^2(\pi-3x)$$.
а) $$2\sin^2(\pi+x)-5\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+2=0$$
Используем формулы приведения:
$$\sin(\pi+x)=-\sin x,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x.$$
Тогда
$$2\sin^2 x+5\sin x+2=0.$$
Пусть $$y=\sin x$$. Получаем квадратное уравнение:
$$2y^2+5y+2=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{4}.$$
Отсюда
$$y_1=-2,\qquad y_2=-\frac12.$$
Значение $$y_1=-2$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1].$$
Остаётся
$$\sin x=-\frac12.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$2\cos^2 x+5\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-4=0$$
Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,$$ получаем
$$2\cos^2 x+5\sin x-4=0.$$
Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$2-2\sin^2 x+5\sin x-4=0,$$
$$2\sin^2 x-5\sin x+2=0.$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2-5y+2=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$
Получаем
$$y_1=\frac12,\qquad y_2=2.$$
Значение $$y_2=2$$ не подходит, поэтому
$$\sin x=\frac12.$$
Следовательно,
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$2\cos^2 x+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-1=0$$
Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,$$ имеем
$$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2+y-1=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}.$$
Получаем
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac12.$$
Тогда
$$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,$$
$$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$5-5\sin 3(\pi-x)=\cos^2(\pi-3x)$$
Упростим выражения:
$$\sin 3(\pi-x)=\sin(3\pi-3x)=\sin 3x,$$
$$\cos(\pi-3x)=-\cos 3x,\qquad \cos^2(\pi-3x)=\cos^2 3x.$$
Тогда
$$5-5\sin 3x=\cos^2 3x=1-\sin^2 3x.$$
Получаем
$$\sin^2 3x-5\sin 3x+4=0.$$
Пусть $$y=\sin 3x$$. Тогда
$$y^2-5y+4=0,$$
$$D=25-16=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$$
Следовательно,
$$y_1=1,\qquad y_2=4.$$
Значение $$y_2=4$$ не подходит, поэтому
$$\sin 3x=1.$$
Тогда
$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\pi+2\pi n,\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$.
