Упр.18.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=2$$
   б) $$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\left(\pi-\frac{x}{2}\right)\cdot\cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)+7\sin^2\frac{x}{2}=3$$
   в) $$4\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\cdot\sin(\pi+x)+3\cos^2(\pi+x)=3$$
   г) $$3\sin^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)-2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\cdot\cos(\pi+x)+2\sin^2(x-\pi)=2$$

а) Преобразуем уравнение:

$$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=2$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2},$$ получаем

$$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2.$$

Перенесём всё в одну сторону и разделим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-2=0$$

$$\tg^2\frac{x}{2}+\tg\frac{x}{2}-2=0.$$

Пусть $$t=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда

$$t^2+t-2=0,$$

$$t_1=-2,\quad t_2=1.$$

1) $$\tg\frac{x}{2}=-2,$$ значит

$$\frac{x}{2}=-\arctg 2+\pi n,\quad x=-2\arctg 2+2\pi n.$$

2) $$\tg\frac{x}{2}=1,$$ значит

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\left(\pi-\frac{x}{2}\right)\cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)+7\sin^2\frac{x}{2}=3.$$

Используем формулы:

$$\sin\left(\pi-\frac{x}{2}\right)=\sin\frac{x}{2},\qquad \cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+7\sin^2\frac{x}{2}=3.$$

Перенесём $$3$$ влево и разделим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$4\tg^2\frac{x}{2}-3\tg\frac{x}{2}-1=0.$$

Пусть $$t=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда

$$4t^2-3t-1=0,$$

$$D=25,\quad t_1=1,\quad t_2=-\frac14.$$

1) $$\tg\frac{x}{2}=1,$$ значит

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

2) $$\tg\frac{x}{2}=-\frac14,$$ значит

$$x=-2\arctg\frac14+2\pi n.$$

в) Преобразуем уравнение:

$$4\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt3\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\sin(\pi+x)+3\cos^2(\pi+x)=3.$$

Используем формулы:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x,\qquad \sin(\pi+x)=-\sin x,\qquad \cos(\pi+x)=-\cos x.$$

Тогда

$$4\sin^2x+\sqrt3\cos x\sin x+3\cos^2x=3.$$

После преобразования:

$$\sin^2x+\sqrt3\sin x\cos x=0,$$

$$\sin x(\sin x+\sqrt3\cos x)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\sqrt3\cos x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$

2) $$\sin x+\sqrt3\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-\sqrt3 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

г) Преобразуем уравнение:

$$3\sin^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)-2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\cos(\pi+x)+2\sin^2(x-\pi)=2.$$

Используем формулы:

$$\sin\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos x,\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x,\qquad \cos(\pi+x)=-\cos x,\qquad \sin(x-\pi)=-\sin x.$$

Тогда

$$3\cos^2x+2\sin x\cos x+2\sin^2x=2.$$

После преобразования:

$$\cos^2x+2\sin x\cos x=0,$$

$$\cos x(\cos x+2\sin x)=0.$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+2\sin x=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2) $$\cos x+2\sin x=0 \Rightarrow \tg x=-\frac12 \Rightarrow x=-\arctg\frac12+\pi n.$$

Ответ

а) $$x=-2\arctg 2+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ -2\arctg\frac14+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\pi n,\ -\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ -\arctg\frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$