Упр.18.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=-1$$;
б) $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=-1$$;
в) $$2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\sqrt{3}$$;
г) $$2\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\sqrt{2}$$.

а) $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=-1$$

Так как $$\arccos(-1)=\pi,$$ получаем:

$$\frac{\pi}{6}-2x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$-2x=\pi-\frac{\pi}{6}+2\pi n=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$

$$x=-\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=-1$$

Так как $$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},$$ имеем:

$$\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\pi-2\pi n$$

Следовательно,

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

в) $$2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\sqrt{3}$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Значит,

$$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

или

$$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Из первого уравнения:

$$-\frac{x}{4}=2\pi n,\qquad x=8\pi n$$

Из второго уравнения:

$$-\frac{x}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$x=-\frac{4\pi}{3}+8\pi n$$

Итак,

$$x=8\pi n,\quad x=-\frac{4\pi}{3}+8\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

г) $$2\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\sqrt{2}$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Тогда

$$\frac{\pi}{4}-3x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

1) $$\frac{\pi}{4}-3x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$

$$-3x=2\pi n,\qquad x=\frac{2\pi n}{3}$$

2) $$\frac{\pi}{4}-3x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$$

$$-3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}$$

Итак,

$$x=\frac{2\pi n}{3},\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$