Упр.18.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin^2 x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-2\cos^2 x=0$$;
   б) $$\sin^2 3x+3\cos^2 3x-4\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=0$$;
   в) $$\sin^2 x+2\sin(\pi-x)\cos x-3\cos^2(2\pi-x)=0$$;
   г) $$\sin^2(\pi-3x)+5\sin(\pi-3x)\cos 3x+4\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=0$$.

а)

$$\sin^2 x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-2\cos^2 x=0$$
$$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
$$\cos^2 x\left(\tg^2 x+\tg x-2\right)=0$$
$$\tg^2 x+\tg x-2=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2+y-2=0$$
$$(y-1)(y+2)=0$$
$$y=1 \quad \text{или} \quad y=-2$$
Следовательно,
$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-2$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

б)

$$\sin^2 3x+3\cos^2 3x-4\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=0$$
$$\sin^2 3x+4\sin 3x\cos 3x+3\cos^2 3x=0$$
$$\cos^2 3x\left(\tg^2 3x+4\tg 3x+3\right)=0$$
$$\tg^2 3x+4\tg 3x+3=0$$
Пусть $$y=\tg 3x$$. Тогда
$$y^2+4y+3=0$$
$$(y+1)(y+3)=0$$
$$y=-1 \quad \text{или} \quad y=-3$$
Значит,
$$\tg 3x=-1 \quad \text{или} \quad \tg 3x=-3$$
$$3x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad 3x=-\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=-\frac{1}{3}\arctg 3+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$

в)

$$\sin^2 x+2\sin(\pi-x)\cos x-3\cos^2(2\pi-x)=0$$
$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$
$$\cos^2 x\left(\tg^2 x+2\tg x-3\right)=0$$
$$\tg^2 x+2\tg x-3=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2+2y-3=0$$
$$(y-1)(y+3)=0$$
$$y=1 \quad \text{или} \quad y=-3$$
Следовательно,
$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-3$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

г)

$$\sin^2(\pi-3x)+5\sin(\pi-3x)\cos 3x+4\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=0$$
$$\sin^2 3x+5\sin 3x\cos 3x+4\cos^2 3x=0$$
$$\cos^2 3x\left(\tg^2 3x+5\tg 3x+4\right)=0$$
$$\tg^2 3x+5\tg 3x+4=0$$
Пусть $$y=\tg 3x$$. Тогда
$$y^2+5y+4=0$$
$$(y+1)(y+4)=0$$
$$y=-1 \quad \text{или} \quad y=-4$$
Значит,
$$\tg 3x=-1 \quad \text{или} \quad \tg 3x=-4$$
$$3x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad 3x=-\arctg 4+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=-\frac{1}{3}\arctg 4+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\; x=-\frac{1}{3}\arctg 3+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=-\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\; x=-\frac{1}{3}\arctg 4+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$.